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【引用】数学还是那个数学——让数学教学回归数学  

2011-01-22 20:22:29|  分类: 名师之声 |  标签: |举报 |字号 订阅

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原文地址:数学还是那个数学——让数学教学回归数学    原文作者:杨作旺

数学还是那个数学——让数学教学回归数学 - 杨作旺 - 杨作旺的博客

  数学还是那个数学——让数学教学回归数学

上海市静安区教育学院 作者:曹培英

 “数学还是那个数学”,经得起推敲吗?谁都知道,今天的数学,它的研究内容、研究方法都有长足的发展。如今,早已不是凭着一枝笔、一张纸就能驰骋数学世界的年代了。但令人庆幸的是,数学的基础,虽说经历了几次恐慌——危机,但矛盾不断在出现,也不断在解决。过去证明是正确的结论,现在依然正确。在数学王国里,对错依然分明,不至于公说公有理,婆说婆有理;也不存在正方、反方的辩论赛,参赛者抓阄决定自己的观点取向,最后获胜的居然是口才好的人。在这个意义上,“数学还是那个数学”。

至于呼吁“让数学教学回归数学”,并不是反对加强数学与生活的联系,拒绝数学内容与其他内容、数学表现形式与其他表现形式的有机整合,而是针对近年来一些日益流行的,似乎课程改革可以改变数学本质的现象提出的。这些现象形形色色,但都满足于把课改理念淋漓尽致地发挥在教学表现形式上,甚至影响了数学的实质,偏离了数学的精神都浑然不觉。鉴此,本文试就其中最常见的几种现象,提出问题,展开质疑与讨论。考虑到小学数学及其教师、教学的特殊性,在下面的讨论中,不纯粹由数学视角切入,而采用以现象描述入手,以学习心理学、学科教学论与数学相结合的方式展开讨论。

一、数学教学的课题:究竟突出什么

(一)现象描述

近年来新编的小学数学教材,有的采用了一些形象生动的语言作为课题。如“玩具”“小猫钓鱼”“买冰淇淋”等等。初看时,似乎有些新意,童趣盎然。实践下来,有时却令人啼笑皆非。

[案例1]

父:今天数学课学了什么?

儿:运动会。

父:怎么不上数学课,又开运动会了?

儿:不是的,是数学课的题目叫运动会。

父:噢……

如果说,家长产生诸如此类的误会,是由于他们不了解小学数学教材,他们只要打开课本仔细看看,就释然了。那么课堂上又会怎样呢?

[案例2]

师:昨天我们学了什么,

生1:小胖下车。

师:前面呢?

生2:小胖上车。

师:小胖上车用什么方法算?

生3:加法。

师:小胖下车呢?

生4:减法。

课堂上这样的“启发式”对话,不仅让生病请假后刚复课的学生摸不着头脑,就连观摩听课的其他年级数学老师也“一头雾水”,情不自禁地摇头。看看教材,原来课本上的课题就是这样的。

而且,当教师不满意课本提供的情节内容。自己根据新一轮课改的理念,创设具有地方特点或学校特色的问题情境时,只好更改课题名称。于是,使用同一教材、同一内容的一堂课,不同的教师教,就出现了不同的课题。比如,都是教学乘法分配律,甲老师自拟的课题是“水果大超市”,乙老师自定的课题为“选购西装”,丙老师的课题叫做“课桌椅”……五花八门,唯独不见乘法分配律的“蛛丝马迹”。

(二)透视分析

面对这一新的情况,我们首先应当肯定教师对教材的二次加工。情境变了,“运动场”换成了“大舞台”,课题再叫“运动场”显然不合适,只能跟着变。再说,教师的教学创新应当鼓励,统一课程的校本化实施也是我们期望并提倡的。问题在于,课题“多样化”的目的是什么?是小学低年级不出数学名词时的代名词?一种有趣的联想符号?还是一种时髦?是不是应该听任数学课题在整个小学阶段都被情境彻底颠覆,让人看不出这是一节数学课,让人摸不透这节课学了什么?由此引起的质疑是:究竟何为载体,何为主题?数学课题,究竟应当突出载体,还是突出主题?

我们认为,一节数学课的主题,一般是明确的、确定的,而表现主题的载体,亦即承载数学知识的现实背景却可以千变万化,这是数学广泛应用性所决定的。因此,用数学内容的载体作课题,势必出现令人眼花缭乱的现象。

进一步,数学教学的课题,应当是数学教学内容的概括。它是内容主题的刻画,而不仅仅是内容载体的表现。它对一节课的教学,常常起到画龙点睛的效果。当然,点睛必须点在龙身上,而不是点在龙身外的浮云上。同时,它对学生的记忆,往往具有简化记忆与提示回忆的作用。

相反,数学教学的课题,用表现数学知识的具体事物,即承载数学知识的表现载体来命名。这就在知识的名称,即所谓的“符号表征”之外,又增加了一类名称,这里不妨将这类名称叫做“载体表征”,以示区别。而载体表征又无法替代符号表征,因此增加了知识的意义与表征之间关系的复杂性。例如,教学加法交换律,已经到了概括感性认识的阶段。

原来,直截了当: 

现在,画蛇添足: 

可见,这类外加的课题名称,既增加了记忆的内容,又添加了回忆检索以及后继教学的麻烦。

诚然,小学生的年龄特征,决定了小学数学必然重视内容的表现形式。在这个意义上,载体表征的课题也有积极的一面,主要是有助于增强数学学习课题对于小学生的亲和力、趣味性。但“童趣味”不应淹没、替代“数学味”,毕竟形式是为内容服务的,本末不应倒置!何况我们有很多其他行之有效的手段可以达到增强数学的亲和力、趣味性的效果。

(三)我们怎么办

第一,很简单,让数学课题回归数学内容。

其实,很多数学课题,以数学知识本身的名称来命名,就很不错。以乘法运算定律为例,乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律,这“交换”“结合”“分配”,多么生动、形象,又多么贴切,以致词自身的含义就有助于领会定律的内涵,有助于由名称获得提示,回忆起定律的内容。比如,由“乘法分配律”的名称学生最容易联想到的问题是“分配什么”,通过举例说明:

不少学生能够用自己的语言来描述“分配”的含义:所谓分配原来是“把一个因数分配给每个加数”。多好的通俗解释,虽说很不严谨,但这恰恰是儿童自己的意义建构、自己的表述。而且,乘法分配律的精髓——沟通乘、加两种运算的定律,不已蕴涵其中了吗?众所周知,在五条运算定律中,唯有乘法对于加法的分配律给出了乘、加两种运算之间的联系。我们不禁要问,像这样科学性、人文性兼备的名称,作为数学课的课题,又有什么不好呢?

第二,也很简单,对课题做出必要的、适当的加工。也就是说,强调课题突出教学内容的主题,并不排斥对课题的通俗化、艺术化的处理。

比如,将数学的拓展内容统称为“数学广角”或“数学广场”,显得更生动、更有趣;将“多位数的认识”称之为“大数的认识”,似乎更通俗、更大众化。本来,“多位数”就不是一个严格的数学概念,改称“大数”也未尝不可。

又如,教学乘法分配律的初步认识,由于是“初步认识”,教学时不出结论,所以很难取一个确切的课题。于是,有教材设计了这样一个课题“5个3加3个3等于8个3”,看似啰嗦,不够简练,实践下来效果倒还不错。请看该课结束前的对话。

师:今天这节课学了什么?

生:学了5个3加3个3等于8个3。

师(愣了一下):噢,对,这个课题本身就说明了今天学的知识。

……

学生记住了这个课题,实际上就等于记住了一个乘法分配律的实例。

再如,将“乘法的初步认识”加工成“从加到乘”。课题这么一改,就新课程改革的理念来讲,凸显了教学的关注点是学生的认知过程和感悟;从数学本身来看,突出了引进乘法的必要性。为什么有了加法还要乘法,因为同数连加首先碰到的问题就是书写太麻烦。比如一百个2相加,写到何时?采用省略号也不如改写成乘法,一目了然。所以说,乘法是同数连加的简便运算,是特殊的加法。因此,乘号的发明者认为,只要把加号“十”旋转45°,改为“×”,用来表示“乘”,再恰当不过了。由此可见,以为现在允许学生把“2×100”写成“100×2”,连乘法的含义,即两个因数的含义——“相同加数”与相同加数的“个数”都可以不要了,实在是抛弃了乘法的本意。要知道,乘法还是那个乘法,课改没有也不可能改变它与加法的本质的、历史的联系。当然,这是题外话。回到我们讨论的问题上来,你看,简简单单四个字“从加到乘”,将课改的追求、数学的实质,都体现其中了。

这些,都是从数学教学工艺学的视角来看,加工得比较适当的课题。

此外,实践活动或综合应用的课题,它的主题不是得出数学知识,而是应用数学知识解决某一方面的实际问题。因此,用活动情境或应用场合来命名,以突出所学数学知识与现实世界某一方面的联系,也是可以的。设计得比较好的,如:“制作年历”“小管家”等等。也有些综合应用的课题,似乎有加副标题的必要。如一位教师自行设计了一节综合应用课,课题为“话说奥运”,令人不得要领,加上副标题“话说奥运——百分数的应用”,显然比较合适。这也是主题与载体兼顾的一个例子。

过去,我们常说,一个好的课题,犹如“画龙点睛”之笔,能为一节课增色、添彩。这对新课改背景下的课堂教学来说,没有过时,同样适用。

让我们共同来追求课堂教学的“画龙点睛”之笔!

有必要指出,在上面的讨论中,为了“就事论事”,摘录了几套新编教材中的若干课题,除此之外,还引用了一线教师自拟的一些课题。其中有笔者认为比较合适的,也有笔者看来是欠妥的。之所以一概不注明出处,是因为本文无意对新编教材妄加评论,更无意赞扬某套教材,或者贬低某套教材。对教师设计课题时的某些创意,同样如此。以后的论述中,还会举一些例子,不管是否注明出处,都是为了“就事论事”,本意不在褒贬。

二、数学内容的引入:一概创设现实情境,或牺牲数学换取兴趣,可取吗

(一)现象描述

近年来,在设计数学课教学内容的引入时,教师们考虑最多的是,从生活情境引进与采用活动方式引进。前者的主要理念是“数学回归生活”,后者的主要依据是“发挥学生的主体性”。两者共同的追求是“激发学生的学习兴趣”。

[案例1]

在二年级下学期教学混合运算顺序“先乘、除,后加、减”,学生课本中的例题是两道计算式题。教师觉得太陈旧了,改用新一轮课改试验教材上的情境题:

“问题1:小胖、小丁丁、小亚、小巧4人一组玩‘激流勇进’,小胖是组长,负责买票,每人6元。他口袋里有156元,买票后还剩下多少元钱?”

“问题2:小胖小组还走了‘勇敢者之路’,小胖又买了4张票,每人7元。小胖为两个游戏项目一共付了多少元钱?”

两个游乐项目本身就富有刺激性,加上多媒体课件的视觉冲击力,学生被深深吸引住了。他们非常投入地、也比较顺利地解决了这两个问题。从学生的汇报来看,他们都采用分步列式。在教师的引导下,部分学生也能将两个分步算式组成一个综合算式。即

156-6×4=132(元)

24+7×4=52(元)

于是教师问:“通过这两个实际问题,我们知道了在一个有加、减法,又有乘法的算式里,必须先算什么?”学生异口同声:“先算乘法。”正当教师要求学生完整叙述并记忆这一“结论”时,一个学生举手说:“老师,我的计算是先算加法,后算乘法。”原来,该生解决问题2的算式是6+7×4=52(元)。老师应答:“你要先算加法,必须添上圆括号。”学生没再说什么,教师就把教学引向了预设的练习。

下课了,我问学生,为什么24+7×4,乘法在后,可以先算;而6+7×4,加法在前,却不能先算呢?大家都一脸茫然。一位大胆的学生说:“老师讲乘法先算嘛,它就先算了。”执教教师在旁补充道:“有的参考书上说,因为在实际生活中需要先乘除的问题比需要先加减的问题更多,所以规定先乘除、后加减。”这种说法恐怕只是一种估计,要统计是很困难的,即便确实如此,它是规定先乘除的依据吗?

在这个案例中,教师创设的问题情境有效地激发了小学生的学习兴趣,然而问题在于:混合运算顺序的规定,是否应该由现实素材导出?更一般地,是否所有数学知识都需要由现实情境引入?

[案例2]

曾听过一节教学算术平均数的课。引入时,教师组织了这样一个学习活动:

让两组学生的代表(各4人)比赛原地踢毽子,教师将各人踢的个数分别记录在黑板上,然后问:现在两组中每位同学踢的个数我们都知道了,那么怎样比较两个组的整体,哪个组踢毽子的水平高呢?学生回答,求总数,看哪组代表踢的总数多。接着,教师又以踢毽子水平较低一组学生的伙伴身份,加入比赛,使该组代表踢的总数大大反超另一组。从而引出问题:当人数不相等时,比较什么才公平?多数学生认为,应当比较平均每人踢的个数。也有个别学生认为,老师踢的不能算进来,同学和同学比较才公平。对这些不同的看法,教师没有理睬,以致坐在笔者前面的一个学生直到下课还在嘟囔“老师偏心眼,老师不公平”。

课后,该教师反思道:

这个引入活动是借鉴了一堂公开课的教学设计。当初观摩时,觉得富有教学艺术色彩,效果不错,学生的积极性被激发起来了。现在用到自己的教学中,没想到会有学生反对,一时不知道怎样引导才好。看来自己不该踢得这么多,引起另一组学生的反感。

有教师建议:可以强调哪一组更弱,老师就帮助哪一组;还可以教育不同意老师加入的同学,让他们发扬风格。

这里,让学生发扬风格,能解决问题吗?

(二)透视分析

其实,通过适当的现实情境引出数学问题,是小学数学早就经常使用的教学方法。它的功能,不仅仅是激起学生的学习兴趣,更重要的是调动学生的相关生活经验,促进对所学数学知识的意义建构,同时还有利于揭示数学与现实世界的联系,让学生逐渐感悟学习数学的实用价值,并在这一过程中,培养学生的数学应用意识与能力。然而,情境引入的作用,并不是无条件的,处处都能“一石三鸟”的。再说,一节课的教学目标,应当有所侧重,每节课都面面俱到是不现实的。

上述案例1表明,以学生喜爱的、亲身体验过的游乐项目为载体创设情境,的确有助于提高学生的学习积极性,并使问题解决过程能够得到已有生活经验的支撑。进一步的问题是,这节课的主要教学方向究竟是什么?

如果是解决实际问题,那么完全可以分步列式,因为分步列式可以有效降低思维的难度。事实上,追求容易、简便的本能,使得学生首选分步计算。于是,仅就解决实际问题而言,既然问题已经解决了,再来列综合算式,似乎多此一举。

如果是教学混合运算顺序,那么尽管面对的是现实问题,却不得不违背实际,舍易求难,指导学生列出综合算式,否则运算顺序无从谈起。至于“先乘、除,后加、减”的运算顺序,纯粹是一种人为的规定。它的合理性很简单,就是为了保证运算结果的唯一性。因而无需证明,更不存在因为某些实际问题需要先算乘、除法,所以这样规定的因果关系。换句话说,由一个具体的实际问题,导出两级混合运算先算乘、除法的规定,是不合逻辑的。

案例1还提示我们,由于问题解决途径的多样性,同一问题,可能这样解需要先乘,那样解需要先加。可见,用现实素材来解释“先乘、除”的合理性,容易陷入自相矛盾的窘境。因此,仅就教学混合运算顺序而言,由单纯的计算式题引入也是可取的。

再来分析案例2。

且不说师生踢毽子分散学生注意力,花费时间太多,影响了教学效率,仅从数学或者说统计学的角度来看,它的合理性就值得商榷。

其一,任何统计工作都有特定目的。这里,既然是比较两组学生踢毽子的水平,就应该采集学生踢毽子的个数。因此,个别学生认为教师不应该加入是对的。否则,为什么体育项目测试要分年龄组呢?

其二,平均数作为一种最常用的集中量数,其最大的局限性在于,当一组数据中出现了极端数据之后,它的代表性会大受影响。很多比赛之所以采取去掉最高分、最低分,再求平均分的措施,不仅是为了从心理上给评分者公正评分施加一种制约,还为了减少一大一小这两种极端数据对平均数的影响,以提高平均数刻画一组数据集中趋势的有效性。因此,为了便于学生感悟平均数的统计功能,引入时,较为明智的策略是有意识地避免极端数据,而不是尽情发挥教师踢毽子的水平,故意人为制造一个极端数据。

如果为了引入中位数、众数,或者为了比较平均数与中位数、众数各自特点的需要,而有意设置极端数据,则另当别论。

(三)我们怎么办

首先必须明确,并不是所有的数学教学内容都需要情境引入。有如下两方面的理由。

一方面,数学知识的来源具有多样性。除了源于广泛的现实世界,由实际问题抽象出来之外,还源于数学内部的矛盾或数学研究的需要,由数学自身纯逻辑地提出。这就是思维对于现实的能动性。比如,在我国家喻户晓的“哥德巴赫猜想”,耗费了几代数学天才的心血,历经358年终于得证的“费马大定理”,都是这样的例子。小学数学中也有这样的例子,比如素数与合数,就是出于研究整数的需要引进的概念。只是后来科学家才偶然发现自然界里就有素数,如某些昆虫的生命周期正好是素数,从而有利于躲避天敌对其繁衍后代的威胁。

另一方面,情境引入又是一把“双刃剑”。有时它会带来一些负面效应。情境选择不当会产生牵强附会现象,这是显而易见的。就是情境设计恰如其分,有时也会使原本可以“各个击破”的难点相对集中。比如    上面的案例1,在二年级下学期教学混合运算顺序,原来针对式题讨论,比较顺利。现在由实际问题引入,不得不将列综合算式与混合运算顺序两个内容整合在一节课内,客观上加大了教学难度。又如教学方程,原来先学怎样解方程,再学怎样寻找等量关系列方程,同样可以联系实际,培养应用能力。现在为了从现实情境引入方程,只能合二为一,这对教师的教学能力和学生的学习能力,都是一种考验。有这必要吗?

如果把“完整的数学过程区分为抽象、符号变换和应用三段,以往的数学课程却以处理中间一段为原则,这导致了数学教学脱离实际的倾向。现在,强调数学抽象和数学应用已成为国内外课程内容改革的共同取向。”[1]有人把数学过程喻为一条鱼,过去是宰头去尾只烧中段,现在则主张“烧全鱼”。但课程改革绝不是简单地从一个极端走向另一个极端;关注数学抽象也不是教条,不论条件,不讲实事求是。只要哪个内容不从实际情境引入,就扣上“没有体现课改理念”的帽子,一概否定,这是典型的形而上学。我们不应画地为牢,自设禁区,“烧全鱼”,与“鱼头、鱼尾分开吃”都是可以的,一切从实际出发,这是再显然不过的道理。

比如,在案例1的教学中,假定所教班级的学生学习能力很强,把列综合算式与混合运算顺序两个内容放在一节课内教学,没有问题。那么,当学生解决问题2出现了两种不同算法时:

解法一24+7×4

解法二6+7×4

教师可以抓住契机,提出问题,激化矛盾:解法一需要先算乘法,解法二需要先算加法,怎么办?由此引出,为了避免混乱,使一个算式只有一个正确计算结果,数学上规定这样的算式先算乘法、后算加法。然后讨论,遇到需要先算加法、后算乘法时,怎样改变运算顺序。从而使学生比较全面地感悟规定运算顺序的必要性。显然,前提是学生“受得了”。如果学生“吃不消”,则分散难点才是上策。

因此,正确的做法是:具体问题具体分析,根据内容特点和学生特点,该情境引入的就精心设计,不宜情境引入的就不要再去挖空心思、生搬硬套。

其次,在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质。

当某一数学内容需要并且适合情境导入时,如何防止情境创设流于形式?关键在于讲究实效,在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质,力求形式与内容的统一。

过去,我们习惯于用教师创设的问题情境来引入教学内容,现在提倡师生、生生互动,于是追求通过师生共同参与的活动来引入学习内容。这无疑是一种发展。然而,无论是教师单独创设的问题情境,还是师生共同开展的实践活动,评价其引入教学内容的效果,首先看它是否有利于揭示数学的规律、展现或反映数学知识的实质,其次才是它的趣味性、挑战性和参与互动性。否则,教学的内容“把握不好,或者把握偏了,方法越高明,越会南辕北辙。错了、偏了,还有什么艺术可言呢?”[2]

例如,教学圆面积计算时,二十多年前,笔者任教时创设的问题情境是:一片绿茵茵的草地上,有一棵树,树上拴着一只正在低头吃草的羊。配合画面提出的问题是:怎样计算羊吃草的面积?[3]当时,场景画在投影胶片上,其影像、色彩无法与今天的多媒体课件相比。但还是引起了学生的极大兴趣。公允地说,这一老掉牙的问题情境,基本符合现今的评判价值取向:“新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动。”[4]因为学生喜欢这样的情境,他们通过观察纷纷发现,羊只能在以树为圆心,以绳长为半径的圆形地面内吃到草。他们为自己的发现而感到兴奋。进一步,用笔者的评判标准来衡量,更为本质的是,这一问题情境便于揭示圆形地面的大小,取决于绳子的长短,从而使学生自己抽象出,圆面积的大小是由圆的半径决定的。如果以树所在位置为原点,建立直角坐标系,那么羊能吃到草的圆面可以用x2+y2≤r2来刻画。也就是说,这一问题情境,实际上已经生动地渗透了或者说蕴涵了圆面方程的一个现实原型。记得针对同一课题,当年曾尝试过多种方式创设情境,实践下来,以“羊吃草”为佳。比如,用手甩动梭镖,也能形成一个圆面,但观察细心的学生会发现,教师的手在抖动。即圆心也在转动(比较准确地说,是形成了一个圆环面)。

如果要问,这样的问题情境,能否用于新课改下的引入教学,回答是:至少在没有找到更好的能让师生都参与互动的方式之前,可以采用。因为圆还是那个圆,圆的本质属性并没有因为课改而改变。当然,教学设计可以也常常需要与时俱进。比如,考虑到面对的是大都市的孩子,不妨把“羊”改为“宠物狗”,相应地把“羊吃草面积”改为“狗活动面积”。

这里,之所以翻出“一块陈年奶酪”,是想陈述一个正例。尽管这个正例缺乏新意,但可以说明:引入教学需要考虑学生的情感,力求激起学生的求知欲望,更要关注教学的科学性要求,不能歪曲数学本意,这是前提。至于原来的情境是否过时,同样需要具体问题具体分析。比如,在小学低年级渗透加法的交换律,20多年前全国通用教材中的插图是:              

该情境不仅能让学生直观地感知加法的可交换性,而且还生动、形象地揭示了加法交换律的依据:计数结果与计数顺序无关(计数公理)。这样的情境其实无需去赶时髦更新。又如,教学时间单位“秒”的认识,传统的情境是除夕之夜,中央电视台春节联欢晚会倒计时读秒迎接新年钟声的录像片段。前不久,有教师采用雅典奥运会上我国选手刘翔夺冠的精彩录像片段来引入“秒”,实践表明效果并不十分理想。原来激动人心的场面让学生兴奋,他们感受到了中国人的骄傲,却没有关注1秒的时间长短。教师重放录像,学生注意了计时,但电子计时器快速跳动的数字仍干扰了他们体验1秒的持续时间。

看来,追求知识与情感、科学与艺术以及内容与形式的和谐统一,没有“最好”,只有“更好”。让我们共同努力!

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