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诸 葛 算 术

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日志

 
 

全日制义务教育数学课程标准(修改稿)附录及案例  

2011-02-05 18:02:42|  分类: 数学信息 |  标签: |举报 |字号 订阅

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附录1  课程目标的术语解释

《标准》使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述学习活动结果目标的不同水平,使用“经历、体验、探索”等术语表述学习活动过程目标的不同程度。这些词的基本含义如下。

    了解:从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征;根据对象的特征,从具体情境中辨认或者举例说明对象。

    理解:描述对象的特征和由来,阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。

    掌握:在理解的基础上,把对象用于新的情境。

    运用:综合使用已掌握的对象,选择或创造适当的方法解决问题。

    经历:在特定的数学活动中,获得一些感性认识。

    体验:参与特定的数学活动,主动认识或验证对象的特征,获得一些经验。

    探索:独立或与他人合作参与特定的数学活动,理解或提出问题,寻求解决问题的思路,发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系,获得一定的理性认识。

 

说明:在标准中,使用了一些词,表述与上述术语同等水平的要求程度。这些词与上述术语之间的关系如下:

(1)了解

同类词:知道,说出,辨认,识别。

实例:知道三角形的内心和外心;识别同位角、内错角、同旁内角。

(2)理解

同类词:认识,会。

实例:认识三角形;会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

(3)掌握

同类词:能。

实例:能认、读、写万以内的数,能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。(4)运用

同类词:证明。

实例:证明“角角边”定理:两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)经历

同类词:感受、尝试。

实例:在具体情境中感受大数的意义。

      尝试回顾解决问题的过程。

(6)体验

同类词:体会。

实例:结合具体情境,体会整数四则运算的意义。



附录2 内容标准及教学建议中的案例

 

内容标准

第一学段(1—3年级)

 

数与代数

 

    例1 用算盘上的算珠表示三位数。

[说明]  算盘是中国的重大发明,体现了十进位值制记数法。使用算盘要注意以下两点:

(1)确定个位。在个位上,一颗下珠表示1,一颗上珠表示5。

(2)确定进位。10个1 是1个10, 在算盘上个位往左进一位;10个10 是100,在算盘上再往左进一位。

如513, 在算盘上就是

 

                         百 十 个

                         位 位 位

更大的数同样可以表示。

 

例2  将数50,98,38,10,51排序,用“>”或“<”表示。用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步描述它们之间的关系。

    [说明]  符号“>”或“<”表述的是数量间的大小关系,希望学生能够理解符号的含义并能合理使用,这个过程可以帮助学生建立数感。

    让学生将这些数排序,学生可能会有不同的排序方法。例如,先找到最小(大)的,然后在剩余的数中再找到最小(大)的,依次将五个数按从小(大)到大(小)的顺序进行排序;或者先固定一个数(如50),拿第二个数(98)与之比较,然后取第三个数与前两个数比较,根据它们之间的大小关系决定位置,这样继续下去,最后将五个数排序。无论学生的出发点如何,只要思路清晰、排序正确即可。

    对于用语言描述几个数之间的大小关系时,结论是相对的。例如,可以说51比50大一些,98比10大很多;而50比38是大一些,还是大得多,可能会有不同看法,但不应当出现逻辑上的混乱,例如,“50比10大一些,50比38大得多”。

 

例3  1200张纸大约有多厚?你的1200步大约有多长?1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地?

[说明] 通过对1200在不同情境中的意义的了解,感受数与生活实际的关系。上述三个问题是类似的,可以让学生学会举一反三。

针对问题“1200张纸大约有多厚”,教学中可以作如下设计:

(1)一本数学教科书大约由50张纸装订而成。可以请学生先观察自己的教科书,感受一本书的厚度。

(2)将10本教科书依次叠在一起,每增加一本都请学生感受一次纸张的数量,感受数量由小增大的过程,建立大数的表象。

(3)想一想,1200张纸大约有多厚?(如果10本书是500张纸,学生可以想象20本书是1000张纸,比20本书还要厚)。请学生描述“这1200张纸叠在一起有多高”,鼓励学生从不同的角度进行描述。

 

例4  说出与日常生活密切相关的数及其表达的事情。

[说明] 对小学生来讲,日常生活中用数来表示的例子很多,如学号、班级人数、身高、物价、重量、距离等。教学中要引导学生自己去发现,相互交流,从而体会数的意义和作用。

 

例5  教室里有6行座位,每行7个,教室里一共有多少个座位?

[说明] 这个例子可以引导学生理解教室中的座位数是6个7的和,可以写成:6×7或7×6。

 

    例6  学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元,带8000元钱够不够?

[说明] 本例的目的是希望学生了解在什么样的情境中需要估算,知道“凑整计算”是估算的一个重要方法。

学生估计的结果可能比实际的结果多一些或者少一些,取决于学生将题中给出的数据加上几后凑整还是减去几后凑整。教师要引导学生运用自己的语言解释估算过程。公园门票的价格是8元,需要将987估计成1000,由此得到987与8相乘的结果肯定比8000小,所以带8000元够了。

    学生还可能根据自己生活中的经验,将乘车或者其他消费等都考虑在内,只要学生解释合理,教师都可以给予支持。

 

例7  每条小船限乘4人,18人至少需要租几条船?你认为怎样分配才合适?

 

例8  估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。

[说明] 本例既可以帮助学生体验1分钟的长短,又是一个估计问题,需要实际测量,在测量的基础上进行简单计算。

    可以有三类方法进行实际测量:测量半分钟,然后用测得的数据乘2;测量1分钟;测量2分钟,然后用测得的数据除以2。对于学有余力的学生,可以引导他们感悟第一种方法省事,但可能不够准确;第三种方法费事,但可能更准确一些。帮助学生建立选择策略的思想。

 

例9  在下列横线上填上合适的数字、字母或图形,并说明理由。

 

1,  1,  2; 1,  1,  2;      ,     ,     ;

A,  A,  B; A,  A,  B;      ,     ,     ;

  ,   ,  ;   ,   ,  ;      ,     ­­,     ;

 

[说明] 启发学生探索规律。希望学生感悟:对于有规律性的事物,无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律,只是表达形式不同。

 

例10  在下面的图1中,描出横排和竖排上两个数相加等于10 的格子,再分别描出相加等于6、9的格子,你能发现什么规律。

 


9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

1

2

3

4

5

6

7

8

9


                                 图1

 

[说明] 本例不仅能帮助学生熟练地进行20以内的加法,并且数值与图形结合,有利于学生以后学习坐标系、图像等。

    根据学生的实际,借助上面的图1可以提出不同的问题。例如,进一步把两个数相加的和是8的格子描出来,看一看有什么规律。根据上图判断,出现次数最多的和是几?最少的是几?教师应根据自己学生的实际情况灵活地设计教学。如果学生在观察上表或者发现规律中有困难,教师可以引导学生从简单的情形入手,比如两个加数先限制在5以内。

 

图形与几何

 

例11  桌上放着一个茶壶,四位同学从各自的方向进行观察。

 


  图2(在图片中标示出四个同学的名字:李明,王宇,刘欣,赵爽)

 

请指出下面图3中四幅图分别是哪位同学看到的。

 

          

       (  )           (  )           (  )          (  )

                                图3

  

例12  一米约相当于    根铅笔长;北京到南京的铁路长约1000     。

[说明] 可以把问题举一反三,让学生了解实际情境中度量单位的意义,学会选择合适的度量单位,增加学生对测量单位的感知。

 

例13  测量、计算不规则图形的周长。

[说明] 引导学生用适当的方法尝试测量、计算不规则图形的周长,有利于学生把握图形的性质和理解周长的意义,学习解决实际问题的方法。教师可以作如下设计:

(1)可以从简单到复杂。先测量并计算一些由规则图形组合成的图形的周长。

(2)对于圆形或杨树叶形的图,可以运用各种测量工具, 也可以用各种测量方法, 鼓励学生进行尝试。对于树叶的直接测量,可以用下面两种方法:

    ①滚动。可以在尺子上滚动“树叶”形状的图形,也可以保持“树叶”形状的图形不动,将尺子滚动进行测量。

    ②绕线。先用细线在图形的边缘围一周,再将细线拉直,然后测量细线的长度。

    (3)测量会有误差。一方面要求学生测量时应当认真,尽量减小误差;一方面启发学生思考,是不是可以多测量几次,然后确定一个合适的结果。

 

例14  测量并计算一张给定正方形纸的面积,利用结果估计课桌面的面积;测量步长,利用步长估计教室的面积。

[说明] 把测量与面积计算有机地结合,让学生体会面积的实际背景和估计长方形面积的方法。

 

例15  在下列现象中,哪些是平移现象?哪些是旋转现象?

(1)方向盘的转动;    (2)火车车厢的直线运动;

(3)电梯的上下移动;  (4)钟摆的运动。

 

例16  图4中哪些图形通过平移可以互相重合?

                                图4

例17  下面是一张动物园的示意图,根据图5所标的位置回答下列问题:

 


● 海洋馆



● 熊猫馆



● 狮虎山



● 大象馆



● 百鸟园



● 猴山






 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                   图5

 

(1)熊猫馆在猴山的哪个方向上?

(2)大象馆在海洋馆的哪个方向上?

[说明] 可以先从一个固定的观测点出发,描述其他物体的方位,再改变观测点,描述与其他物体的相对方位。

 

统计与概率

 

例18  分别选择三个不同的标准把全班同学分为两类,记录调查结果。

[说明] 比较、排列、分类等活动是对数据进行初步整理,是学生进行数据分析的开始,也为以后学习统计与概率和其他方面的数学知识积累感性经验。教学中应鼓励学生依据分类标准得出结论,具体可作如下设计:

(1)教师给出问题后,引导学生讨论不同的分类标准。例如,性别,身高,家到学校的距离,出生年月,左右手写字等等。

(2)当提出的标准较多时,可以分组进行活动,完成调查。

(3)运用自己的方式(文字、图画、表格等)呈现调查结果。

 

例19  新年联欢会准备买水果,调查班级同学最喜欢吃的水果,设计购买方案。

[说明] 借助学生身边的例子,体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反三。教学中可作如下设计:

(1)全班同学讨论决定购买方案的原则,可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果,或者其他的原则。

(2)鼓励学生讨论收集数据的方法。例如,可以采用一个同学提案、赞同举手的方法;可以采取填写调查表的方法;可以全部提案后,同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。必须事先约定,每位同学最多可以同意几项。

(3)收集并表示数据,参照事先的约定决定购买水果的方案。

要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理,购买方案没有对错之分,但要符合最初制定的原则。

 

例20  对全班同学的身高进行调查分析。

 [说明] 学校一般每年都要测量学生的身高,这为学习统计提供了很好的数据资源,因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段,根据不同学段的学生特点,要求可以有所不同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来,养成保存资料的习惯。在第一学段,主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。教学中可以作如下设计:

(1)指导学生将全班同学的身高进行汇总。

(2)从汇总后的数据中发现信息。比如最高(最大值)、最矮(最小值)、相差多少(极差),大部分同学的身高是多少(众数)等。在讨论过程中,括号中的有些名词并不需要出现,但是希望学生体会数据所代表的意义。

(3)在整理中,可以让学生尝试创造灵活的方法。例如寻找最高,可以直接比较寻找,当学生人数比较多时,也可以分组寻找组内最高,然后在每组的最高中寻找最高;在考虑顺序问题时,可以参见例18。

 

综合与实践

 

例21  图形分类

如图6所示,桌上散落着一些扣子,请把这些扣子分类。想一想:应当如何确定分类的标准?根据分类的标准可以把这些扣子分成几类?然后具体操作,并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                  图6

 

[说明] 本活动适合于本学段的各个年级,可以在要求上有所区分。本活动的目的是希望学生能够清楚,分类是要依赖分类标准的,例如扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准,而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。本活动将有利于培养学生把握图形的特征、抽象出多个图形的共性的能力。另一方面,活动还要求学生运用文字、图画或表格等方法记录对扣子进行分类后的结果,这有利于培养学生整理数据的能力。

教师在此活动的教学中可以作如下设计:

(1)教师提出问题,引导学生讨论分类标准。可以启发学生这样思考:先关注一个指标作为分类标准,如先关注颜色;在此基础上,再进一步关注两个指标作为分类标准,如进一步关注颜色和形状;最后再关注颜色、形状和扣眼数。这样可以避免出现混乱。

(2)根据已经讨论确定的分类标准对学生分组,引导学生实际操作,合作完成计数;各小组呈现统计结果。

(3)教师组织学生报告统计结果,引导学生作出评价,帮助学生整理思路。

 

例22  生活中的轴对称图形

组织学生分组收集日常生活中常见的图形(如图标),观察它们是否有对称轴,若有对称轴,数出或说出有几条对称轴。尝试画出它们的对称轴。在课堂中展示交流大家的发现,并尝试设计出一些轴对称图形。

[说明]  这个活动可以鼓励学生主动观察,设法收集(如可以使用数码相机或现场素描等)。学生可以结合自己的生活环境发现、找到他们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴,并在交流过程中丰富自己的经验,如下面的图7:

 

                        图7

在交流大家收集到的图形的基础上,教师进一步鼓励学生自己设计的轴对称图形,并交流自己图形所表达的意思。

 

例23  上学时间

让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间,并从这些数据中发现有用的信息。

[说明] 这个活动适用于二、三年级,有利于培养学生的数据分析意识:知道在现实生活中,有许多问题可以先调查数据,通过对数据的分析得到结论;如果把记录时间精确到分,可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的,可以让学生感悟数据的随机性;更进一步,让学生感悟虽然数据是随机的,但数据较多时具有某种稳定性,可以从中得到很多信息。

教学中可以作如下设计:

(1)指导学生如何测量时间和作记录,启发学生先设计调查方案。例如,事先调整家里钟表的时间,使其和学校钟表的时间保持一致;在调查期间需要保证每天上学途中的行为尽量一致;作为参照,也可记录放学回家的时间;等等。在此过程中,培养学生认真做事的习惯。

(2)组织学生展示数据,鼓励学生从中发现信息。学生得到的信息可以是多方面的:虽然每天上学途中需要的时间可能是不一样的,但通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间;可以知道上学途中所需要的最长时间和最短时间等。

(3)组织学生进行交流,比较自己与他人的调查结果,从而获得更多信息:大多数同学上学途中所需要的时间,同学中最长的和最短的时间;可以将时间分段,统计每个时间段的学生人数,得到表格或者统计图。在此过程中,鼓励学生体会分析调查结果及得到结论的乐趣。

 

第二学段(4—6年级)

 

数与代数

 

例24  如果一个人的寿命是76岁,这个人一生的心跳大约有多少次?光速大约每秒30万千米,光从太阳到达地球大约需要多长时间?如果把100万张纸叠加起来,会有珠穆朗玛峰那么高吗?

[说明] 参见例3。在计算的过程中,要合理利用数的单位和度量单位来减少位数。有些问题需要学生自己查找资料,如太阳到地球的距离、珠穆朗玛峰的海拔高度,这样的查找资料活动有利于学生养成调查研究的习惯。

 

例25  某学校为学生编号,设定末尾用1表示男生,用2表示女生,例如200903321表示“2009年入学的三班的32号同学,该同学是男生”。那么,201004302表示什么?

[说明] 这个例子可以启发学生思考,编号提供给我们一些什么信息,比如一个年级最多有多少个班,一个班最多有多少名学生。可以引导学生设计本学校的学生编号方案。还可以启发学生通过观察学生证的编号估计学校的学生数。

 

例26  说明 ,0.25和25%的含义。

[说明] 分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法,但含义是有所不同的。真分数通常表示部分与整体的关系,如全班同学的 ;小数通常表示具体的数量,如一只铅笔0.25元;百分数是同分母(统一标准)的比值,便于比较,如去年增长21%、今年增长25%。希望学生能够理解它们的含义,在生活中能够合理使用。

 

例27  李阿姨在商店挑选了两袋米、一块牛肉、一些蔬菜和鱼,营业员告诉她:每袋米35.4元,一块牛肉14.8元,蔬菜和鱼的价格分别为6.7元和12.8元。李阿姨带了100元,够付款吗?

[说明]目的是选择合适的方法进行估算。针对这个问题,进行整数运算已经超过100元了,所以100元不够。

 

例28   9.9×6.9比70小吧?   + 比1大吗?

 [说明] 与例6一样,应当让学生清楚“凑整计算”是估算的一个重要方法,比如,可以把9.9×6.9凑整成10×7,估算结果比70小; 比 大,所以 + 比1大。

 

例29  利用计算器计算15×15,25×25,…,95×95,并探索规律。

[说明] 目的是运用计算器进行计算,从中发现一些有趣的规律。学生可以通过观察结果与乘数的关系,发现规律。例如

15×15=225=1×2×100+25,

25×25=625=2×3×100+25,

35×35=1225=3×4×100+25,

等等。这个规律在实际运算中也是有用的。

 

例30  彩带每米售价3.2元,购买2米,3米,…,10米彩带分别需要多少钱?在方格纸上把与数对(长度,价钱)相对应的点描出,并且回答下列问题:

(1)所描的点是否在一条直线上?

(2)估计一下买1.5米的彩带大约要花多少元?

(3)小刚买的彩带长度是小红的3倍,他所花的钱是小红的几倍?

[说明]希望学生感受成正比例关系的一组数对所对应的点在一条直线上,并且能够借助图形进行数据的估计。

教学中引导学生在描点之前,先建立下面的表格,有利于直观地理解正比例关系,并为描点作准备。


长度/米

0

1

2

3

4

5

6

7

价钱/元

0

3.2

6.4

9.6

12.8

16

19.2

22.4


 

例31  联欢会上,小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗?

[说明] 希望学生能够通过所给条件,发现规律,进一步了解规律可以借助各种符号表示(参见例9)。

在解决这个问题时,学生可以有多种方法。例如,用A表示红气球,B表示黄气球,C表示绿气球,则按照题意气球的排列顺序可以写成

    AAABBCAAABBC…

    从中找出第16个字母,由此推出第16个气球的颜色。

 

例32  一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个,如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个,那么有几个椅子和几个凳子?

[说明] 可以引导学生运用尝试的办法探索规律,得出结果,使学生感受这是数学探索的一种有效途径。比如,可以有规律地给出下面的计算过程:

椅子数  凳子数       腿的总数

          16       0          4×16=64

          15       1          4×15+3×1=63

          14       2          4×14+3×2=62

    继续计算下去,可以得到椅子数12、凳子数4时,腿数恰好为60。通过上表可以启发学生思考:每减少一个椅子就要增加一个凳子,腿的总数就要减少4-3=1。腿的总数为60时,需要减少的椅子数是64-60=4,于是椅子数是16-4=12,凳子数是0+4=4。最后验证一下:12×4+3×4=60,是正确的。当然,也可以从凳子数的变化思考:每减少一个凳子就要增加一个椅子,腿的总数就要增加4-3=1。

对于学有余力的学生,教师可以鼓励他们进一步用字母代替椅子数与凳子数,得到计算腿的总数的模型。

 

图形与几何

 

例33  观察下图:

 

 

 

                     图8

 

请指出从前面、右面、上面看到的相应图形:

 

(   )          (  )        (   )

                   图9

[说明] 可以为学生提供实物,让学生进行实际观察。观察之前也可以先说一说自己的想法,再实际验证。

例34  图10中每个小方格为1个平方单位,试估计曲线所围部分的面积。

        图10

[说明] 要帮助学生养成事先作好规划的习惯,可以根据要估计的精确程度来确定估计方案,例如,粗略估计的方案可以为小方格里有图形就记为1,无图形就记为0,然后相加求和;精细估计的方案可以为小方格的图形,大于一半的记为1,小于一半的记为0,然后相加求和;也可以分得更细。让学生通过记录、计算、比较等,体会估计的意义和方法。

 

例35  测量一个土豆的体积。

[说明] 对于不规则物体的体积体积的测量问题,可以转化为等体积的规则物体来测量。例如,准备一个有刻度的容器,先注入一些水,然后把土豆放入水中,观察水面高度上升的情况。类似,可以利用学生熟悉的曹冲称象的故事,让学生体会如何测量不规则物体的体积。

 

例36  图画还原。

打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面,请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤。

     

                        图11

[说明]通过实际操作进一步理解平移和旋转,不仅能增加问题的趣味性,还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的,体验选取最佳方案的过程。

教学设计时,可关注如下要点:

(1)完成还原积木的任务一定要从简单到复杂,如图,先打乱四块积木中的下面两块,让学生尝试思考的过程。学生有了一定经验后,可以打乱三块或四块积木,让学生继续尝试。

(2)可以分小组进行。为了记录准确,事先要确定每一个步骤的代表符号。

(3)小组活动时,可以先讨论,确定一个大概的还原路线,然后操作验证。

(4)小组成员共同操作,进行比较,验证确定的路线。

 

例37  描述从学校到家的路线示意图,并注明方向及途中的主要参照物。

[说明] 学生可以用语言描述路线,为了交流的方便,学生也可以借助实物模拟路线。教师还可以进一步鼓励学生画出路线的简单示意图,并在图中标明方向及主要参照物。

 

例38  小青坐在教室的第3行第4列,请用数对表示,并在方格纸上描出来。在同样的规则下,小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示?

[说明] 需要先在方格纸上标明正整数刻度,希望学生能够把握数对与方格纸上点(行列或者列行)的对应关系,并且知道不同的数对之间可以进行比较。这个过程有利于学生将来直观理解直角坐标系。

 

统计与概率

 

例39  对全班同学的身高的数据进行整理和分析。

[说明] 在例20中,已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。在这个学段中,要求学生结合以前积累的身高数据(参见例20的说明),进行进一步的整理,然后进行分析。整理的目的是为了便于分析,例如,条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异;扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异;折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况,预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高,自己的身高在全班的什么位置。

教学设计时,可以关注如下要点:

(1)组织学生讨论并明确做统计图的基本标准。如果学生意见不一致,可以根据意见的不同把学生分组,各自画出统计图后进行比较。

(2)可以把几年来全班同学平均身高的数据画出折线统计图,让学生与自己身高数据的折线图进行分析比较。还可以对男女生的身高数据进行分析和比较。

(3)组织学生讨论用什么数据来代表全班同学的身高,自己的身高在全班的什么位置。学生可以用平均身高作为代表,用自己的身高与平均身高进行比较;可以用出现人数最多的高度段作为代表(“众数”的意义),用自己的身高与其相比;学生也可能用班级中等水平学生的身高作为代表(“中位数”的意义),用自己的身高与其相比。学生只要能说出自己的理由就可以,但不需要出现“众数”、“中位数”的名词。

(4)虽然数据整理和分析的方法可以有所不同,但要求分析的结论清晰,能够更好地反映实际背景。

 

例40  阅读在报纸或者杂志上发表的有统计图的文章,用自己的语言说明统计图所表达的意思。

[说明] 在实际背景中体会统计图的作用,可以增强趣味性,加深对统计图以及统计图所表示的问题的理解。还可以培养学生调查研究的习惯。

教学时,教师可以事先布置作业,也可以确定题目分小组查阅资料,小组讨论后在课堂分小组交流。在此基础上,再调查周边的事情(如喜欢读的书籍,喜欢听的歌曲等等),得到数据并作出统计图进行分析。

 

例41 袋中装有5个球,4个红球和1个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色,不告诉他们红球数目与白球数目,让学生通过多次有放回的摸球,统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例,由此估计袋中红球和白球数目的情况。

[说明] 借助学生感兴趣的摸球游戏,使学生体会到数据的随机性。一方面,每次摸出的球的颜色可能是不一样的,事先无法确定;另一方面,有放回重复摸多次(摸完后将球放回袋中,摇晃均匀后再摸),就能发现一些规律。根据学生的不同学段,可以设计如下层次:

(1)适合于第二学段。通过摸球,学生发现每次摸出的球的颜色不确定,初步感受数据的随机性。进一步通过统计摸出红球和白球的数量,可以估计袋中是白球多还是红球多。在不确定的基础上,体会规律性。

(2)适合于第三学段。在(1)的基础上,学生可以估计袋中白球数量和红球数量的比,进一步体会规律性。教师可以进一步鼓励学生思考:给出了袋中两种颜色球的总数,如何估计白球和红球各自的数量。

教学时,教师可以先鼓励学生思考,在不打开袋子的前提下,如何估计袋中红球和白球数量的情况,启发学生想到可以通过摸球得到数据,由数据进行估计。然后,教师组织大家做摸球活动,在摸球的过程中提醒摸球的规则:有放回,尽可能摇匀,并指导学生记录下每次摸到的颜色。为了保证试验次数,全班可以分小组进行试验,然后将所有小组的试验数据汇总。通过统计和比较摸到的红球和白球的数量,对袋中球的情况进行估计。

实际上,如果袋中装有4个红球和1个白球,可以知道摸到红球的概率为4/5(也就是8/10)。通过摸球的试验,可以用红球出现的频率来估计概率,显然,摸球的次数越多,估计的精度越高。一般情况下,摸球的次数与估计的精度之间的关系是什么呢?通过计算可以得到:保证有80%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”,需要摸27次以上;保证有95%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”,需要摸60次以上。教师不必会推导这个结论,但知道这个结论,可以使教师更好地理解运用数据进行估计的内涵并进行有效操作,知道通过摸球的数据进行推测并不是毫无道理的“瞎碰”,而是有数学理论保证的。

 

例42  将下面这些卡片混在一起,从中任意选取一张卡片,这张卡片可能是什么?

 

 

 

 

 


                           图12

 

[说明] 希望学生理解,因为是任意选取一张卡片,则每张卡片都可能被选取,但事先无法确定哪张卡片一定会被选取(是随机的),每张卡片被选取的可能性是一样大的(简单事件)。

如果学生能够很好地理解,则可以进一步提问:这张卡片是船的可能性大呢?还是房子或者车的可能性大呢?可以让学生进行实际操作。

 

综合与实践

 

例43  绘制学校平面图。

按照确定的比例和方位,绘制校园的平面图,包括围墙、主要建筑、主要活动场所、道路等等。

[说明] 本活动适用于五、六年级,目的是通过实际操作,让学生更好地理解位置、方向和比例等基础知识,掌握测量的方法。因为整个操作比较复杂,建议采用小组活动的形式,这样做既有利于培养学生统筹规划的实践能力,也有利于学生体验团结协作、获得成功的快乐。

教学设计时,可以关注如下要点:

(1)选择测量工具。最简单的测量工具是指南针和皮尺(也可用步长近似测量)。

(2)在教师的指导下,各小组讨论并形成基本测量方案,组内分工。小组完成实际测量后,绘制校园平面图。

(3)交流。各小组展示本组绘制的校园平面图,交流绘制的方法和过程(可以用壁报、幻灯等形式)。

 

    例44  旅游计划。

某人计划用5天的时间外出旅游,所需费用大概是多少?

[说明] 适用于本学段的各个年级,要求可以不同。关于目的地和时间,教师可以根据实际情况提出。这个问题需要学生自己调查研究,认真制定计划,根据计划计算费用。因此,这是一个灵活的开放题。为了便于调整计划,可以先考虑几种方案,然后比较筛选,也可以分小组活动,分工调查、集体讨论后制定一个统一的计划。

在学生报告结果时,教师应要求学生能对自己和别人的方案进行评价。

 

例45 象征性长跑。

为了迎接奥运的召开,某小学决定组织“迎接圣火、跑向北京”的象征性长跑活动,学校向同学们征集活动方案,请你参与设计,其中要解决的问题有:

(1)调查你所在的学校到北京天安门的距离约有多少公里?

(2)如果一个人每天跑一个“马拉松”,要几天能完成这项长跑?

(3)如果全班用接力方式开展这项活动,请你设计一个合理的活动方案。

(4)全班交流、展出同学们的不同方案,说明各个方案的特点,同学之间评价方案的优缺点,推荐本班的最佳活动方案。

[说明] 适用于本学段的各个年级,要求可以不同,可以分小组活动,分工调查关键数据(如调查学校到北京的距离,如果是北京的学校就要改变长跑的目的地,比如可以把目的地改为延安)、学生分组集体讨论后,可以制定一个计划,自主提出适合自己班级特点的“长跑方案”,比如可以给男、女生提出不同的日跑量,提出哪一天跑到“中途某一个城市”,等等。因此,这是一个灵活的开放题。教师可以组织学生交流不同方案,同学之间评价不同方案的优缺点,推荐本班的最佳活动方案,丰富学生的活动体验。

 

例46  空间想象与分类计数。

将边长分别为3和4的正方体的表面刷上红色的漆,再将它分割成边长为1的小正方体。探求满足下面条件的小正方体的数量规律。

 

 

 

 

 

 

 


                         图13

 

(1)一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个?

(2)将正方体的边长改为5,表面刷上红色的漆,再将它分割成边长为1的小正方体,一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个?

(3)将正方体的边长改为6,结果如何?

(4)分析上面三个问题的求解过程,你能发现什么规律?

 [说明] 本活动可以培养学生空间想象力,帮助学生积累由特殊到一般、寻找规律的数学经验。在逐渐深入的探讨过程中,要引导学生把握问题的共性,从而得到一般性的结论。在活动的过程中,教师应鼓励学生由特例提出新问题,推动思考的深入,并归纳一般规律。鼓励学生用自己的语言和数学语言正确地表达他们发现的规律。

 

 

 

第三学段(7-9年级)

 

数与代数

 

例47  灾害应对预案。

一次水灾中,大约有20万人的生活受到影响。如果灾情持续一个月,大约需要筹集多少顶帐篷?多少吨粮食?

[说明] 解决此问题需要在一定的假设条件下,进行有理数的运算,最后给出估计。

例如,假定一顶帐篷可以住10个人,需要2万顶;假如要保证一个家庭住一顶帐篷,每个家庭4口人,需要5万顶。假定平均每人每天需要0.4千克粮食,可以估计出每天需要的粮食数,10天需要的和一个月需要的粮食数。

 

例48  估计 与0.5比哪个大?与1.0比呢?

 

例49 计算:(1) ;(2) +

[说明] 运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的四则运算,根号下仅限于数,不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算,如 ,2 + 等。

 

例50  结合实例解释3a。

[说明] 希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的。a可以表示数量,例如葡萄的价格是每千克3元,则3a 表示买a千克的金额;a可以表示长度,例如一个等边三角形边长为a,则3a表示这个三角形的周长,等等。

 

例51  利用公式证明例29所显示的运算规律。

[说明]在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律:

15×15=1×2×100+25=225,

25×25=2×3×100+25=625,

35×35=3×4×100+25=1225。

观察后,我们猜测:如果用字母a代表一个正整数,则有如下规律:

         (a×10+5)2= a( a+1)×100+25。

    但这样的猜测是正确的吗?需要给出证明:

         。

    这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程,即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟,有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律,感悟数学的严谨性,增加学习数学的兴趣。

 

例52 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个,如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个,有几个椅子和几个凳子?

[说明]这个问题与例31是相同的。事实上,这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段讨论过的方法是基于四则运算,还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题,有利于学生进行比较,加深对于模型的理解。

利用一元一次方程解决此问题时,可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程,这样利于学生理解方程的意义,体会建模的过程。假设椅子数为a,则凳子数为16-a,把例31中的表移过来并用字母代替:

椅子数   凳子数       腿的总数

        a =16    16-a =0      4a +3(16-a)=64

        a =15    16-a =1      4a +3(16-a)=63

        a =14    16-a =2      4a +3(16-a)=62

    这样,合题意的方程为4a+3(16-a)=60,可以通过尝试的方法,解得a=12,也可以解方程求解。

对于二元一次方程组,则可以直接列方程。假设椅子数为a,凳子数为b,可以得到两个方程a+b=16和4a+3b=60,用代入法得到4a+3(16-a)=60,求解得到a=12和b=4。

从上面的讨论可以看到,用四则运算方法,思考最困难,但是结果最直接;用二元一次方程组的方法,思考最简洁,但是计算较繁琐。

在教学过程中,可以结合具体的教学内容使用这个例子,最后进行比较,启发学生思考。

 

例53 估计方程 的解。

[说明] 估计方程的解,不仅仅在于求解,也有利于学生直观地探究方程的性质,初步感悟,通过带入数值进行计算也是求方程解的有效途径。一般来说,如果把一个数代入方程左边得到的值为负,把另一个数代入得到的值为正,则在这两个数之间可能有方程的解。根据这个原理,用二分法可以估计方程的解。

分析这个一元二次方程,当x的绝对值较大时,方程的左边必然为正,如-5和3;当x的绝对值较小时,方程的左边必然为负,如2。那么,在-5和2之间,以及在2和3之间方程可能有解。进一步,用同样的道理可以将解的范围缩小,使我们估计的解尽可能精确,如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算,如果得到的值为正,则在-1.5和2之间有解,否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。

进一步,教师引导学生用公式法解出方程的解,然后借助计算器求解的近似值,并将得出的近似值与前面的估计值进行比较。

 

例54 小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元,橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱,能买几支铅笔、几块橡皮?

[说明] 对于初中的学生,这个问题是生活常识,但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。

这是一个求整数解的不等式问题,并且问题是开放的,通过列表具体计算,有助于学生直观理解不等式。

假设买a支铅笔,b块橡皮,可以得到不等式

0.5a + 0.4b ≦ 2。

当a = 1时,计算得到b ≦ = 3.75,则 b = 3。这样计算,可以建立下面的表格:

       a    0      1     2     3     4

       b    5      3     2     1     0

     金额   2     1.7   1.8   1.9    0

根据上面的表格,小丽可以选择适当的购买方案。

 

例55 小明的父母出去散步,从家走了20分钟到一个离家900米的报亭,母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分钟报纸后,用15分钟返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系?哪一个图形是表示母亲的行走过程?

 

                              图14

例56  某书定价8元。如果一次购买10本以上,超过10本部分打8折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。

[说明] 这是一个分段函数,函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说,列表法适用于变量取值是离散的情况;分段函数应当画图,并且关注分段点处函数的变化情况。

可以分组讨论三种方法,然后让学生分析比较。

 

例57  甲乙两地相距20千米。小明上午8点30分骑自行车由甲地去乙地,车速平均每小时8千米;小丽上午10点坐公共汽车也由甲地去乙地,车速平均每小时40千米。分别表示两个人所用时间与距离的函数关系,并回答谁先到达乙地。

[说明] 问题的要点是同时分析两个函数关系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题,在分析、总结学生的解答时,可以把两个函数的图象放在一起进行直观比较。

 

例58 温度的计量。

世界上大部分国家都使用摄氏(C),但美、英等国的天气预报仍然使用华氏(F)。两种计量之间有如下对应:


C

0

10

20

30

40

50

F

32

50

68

86

104

122


(1)在平面直角坐标系中描述相应的点,观察这些点是否在一条直线上。

(2)如果两种计量之间的关系是一次函数,请给出该一次函数表达式。

(3)求出华氏0度时摄氏是多少度。

(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗?

[说明] 在表中,两个变量对应数值的差之比是一个常数,所以两个变量之间是一次函数关系。摄氏从0度开始,设为横坐标方便。但在求华氏0度对应的摄氏温度时,需要通过函数值来反求自变量的值。在平面直角坐标系中, 该一次函数的图像与直线y = x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时的值。

 

图形与几何

 

例59  从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出长方体、长方形、正方形、线段和顶点。

[说明] 学生在日常生活中见到的物体都是立体的,而在纸上画出的图形都是平面的,这是一类很重要的抽象。特别是把物体表面分解,有利于培养学生的空间观念。

 

 

例60  证明:两直线平行,则同位角相等。

                                图16

 

[说明] 考虑到学生的实际情况,在教学过程中,给出下面证明方法的时间可以酌情处理。

这个证明可以利用反证法完成,一方面使学生了解结论的证明,另一方面可以帮助学生了解反证法。如图16所示,我们希望证明:如果AB∥CD,那么∠1=∠2。假设∠1≠∠2,过点O作直线A′B′,使∠EOB′=∠2。根据“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行”这个基本事实,可得A′B′∥CD。这样,过点O就有两条直线AB、A′B′平行于CD,这与基本事实“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾,说明∠1≠∠2的假设是不对的,于是有∠1=∠2。

  

例61  直观阐述基本事实:两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

[说明] 虽然基本事实是不需要证明的,但是启发学生进行直观分析、探索结论的合理性。

 

      图17-1                       图17-2

 

如图17-1所示,一个三角形由六个元素构成,即三条边和三个角,因此,两个三角形如果三条边和三个角分别相等,则这两个三角形全等。问题是,最少几个元素就可以确定三角形从而构成全等条件呢?

观察图17-1中的△ABC,如果对图中的边BC“视而不见”,这样,对∠B和∠C也就“视而不见”了(如图17-2),此时△ABC的形状和大小并不改变。这就是说,AB、AC两条边及它们的夹角确定了△ABC的形状和大小,于是可以推断,两边以及这两边的夹角可以确定一个三角形。因此,可以认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基本事实。

另外,也可以用图形运动(叠合)的方法确认“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个结论。

 

对于基本事实“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的直观分析可以借助下面的图18-1和图18-2。

 

     图18-1                              图18-2

 

可以进一步引导学生思考,为什么“三个角分别相等的两个三角形全等”不能成为基本事实。

对于以上事实的认可,也可以从六个元素中的一个出发,既由少到多进行考虑,通过画图探索出需要几个元素即可确定一个三角形。

 

例62  根据性质对平行四边形、矩形、菱形、正方形分类

[说明] 在第一和第二学段都讨论过分类的问题,通过分类有助于学生把握问题本质,了解研究对象的共性与差异。特别是对于几何图形分类,有利于培养几何直观性和思维的层次性。

分类的关键在于确定分类的标准,在不同的标准下可能会有不同的分类结果。一般来说,分类标准可以由粗到细,即由一个特征发展到多个特征(参见例21)。针对本问题把图形分为两类(其中一类可以是空的,在具体教学过程中不出现空集的概念)的标准可以考虑为:对边平行;对边平行且有一个角为直角;对边平行且四条边相等;对边平行、有一个角为直角、四条边相等。还可以通过对角线建立分类标准,等等。在具体教学过程中,可以启发学生想象,也可以做出实物让学生操作。

 

例63  探索并了解:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等

[说明] 通过探索和了解此结论的证明,帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。

教学中可以参考安排如下的过程:

(1)发现结论。在透明纸上画出如图19-1的图:设 , 是⊙ 的两条切线, , 是切点。让学生操作:沿直线 将图形对折,启发学生思考,或者组织学生交流。学生可以发现:

, 。

这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般,通过合情推理推测出切线长定理的结论。

 

                 

       图19-1                        图19-2

 

(2)证明结论的正确性。如图19-2,连接 和 。因为 和 是⊙ 的切线,则 ,即 和 均为直角三角形。又因为 和 ,则 与 全等。于是有

, 。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。

由此可见,合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式,都是研究图形性质的有效工具。

上述证明过程没有采用形式化的三段论,但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。

 

例64 如果四边形ABCD 和BEFC都是平行四边形,则四边形AEFD也是平行四边形。某同学根据下述图形对这个命题给出了证明。

 

 

 

                     图20

 

证明:因为ABCD是平行四边形

所以  AD=BC         ①

AB=CD         ②

      又因为BEFC也是平行四边形

      所以  BC=EF         ③

            BE=CF         ④

      由①③得  AD=EF     ⑤

      由②④得  AB+BE=DC+CF    ⑥

      因为⑤⑥成立,所以四边形AEFD是平行四边形。

    他的考虑全面吗?

[说明] 引导学生判断上述证明过程是否正确,希望学生通过错误的事例,感悟特殊和一般的关系。

 

例65  下面图21-2中的三个三角形是由图21-1中的三角形经过平移、旋转和轴对称得到的,分别指出图形运动的形式,并标出对应的角。

 

 

 

 


       图21-1                               图21-2

 

[说明] 把运动后的结果归纳在一起让学生辨认,有利于学生理解三种图形运动形式的不同之处,从而把握平移、旋转和轴对称的基本特征,体验图形运动是研究图形的有力工具。

 

例66  在直角坐标系中描出下列各点,将各组的点顺次连接起来。观察这个图形,你觉得像什么?

(1)(2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6),(2,6),

(1,8),(0,6),(0,2),(2,0);

(2)(1,3),(2,2),(4,2),(5,3);

(3)(1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4);

(4)(4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4,4);

(5)(3,3)。

[说明] 在第二学段已经学习了利用方格纸画直角坐标系,理解整数坐标与格子点的对应关系(参见例38)。在本学段将学习一般的直角坐标系。利用直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来,有利于用代数方法研究几何问题,也有利于借助图形直观地探索数量关系的规律性。

这个问题可以进一步扩展:把家乡的地图放在直角坐标系的第一象限内,然后等间隔地画出与坐标轴平行的两组平行线,一边用数字表示,一边用字母表示,然后让学生寻找自己熟悉的地点,并用数字和字母表示出该点。让学生理解,坐标的表示可以是多样的,坐标的核心是对应关系而不是具体表示形式。

 

例67  如何用方向和距离描述下图22中小红家相对于学校的位置?反过来,学校相对于小红家的位置怎样描述呢?

图22

 

统计与概率

 

例68  设计调查方法。

了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适用于学校的全体同学吗?适用于全地区的电视观众吗?如果不适用,应当如何改进调查方法?

[说明] 对于许多问题,不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据,只要得到一部分数据(样本)就可以对于总体的情况进行估计。很显然,如果得到的样本能够客观地反映问题,则估计就会准确一些,否则估计就会差一些。因此,我们希望寻找一个好的抽取样本的方法,使得样本能够客观地反映问题。在本学段,主要学习简单随机抽样方法,这是收集数据中通用的方法,在一般情况下,我们都假定样本是通过随机的方法得到的。

因为同一个年级的学生差异不大,采用简单随机抽样方法比较合适。可以在上学时在学校门口随机问讯,也可以按学号随机问讯。为了分析方便,需要把问题数字化,如喜欢这部电视剧的记为1,不喜欢的记为0。

对于这样的问题,问讯学生数不能少于20人,取40-50人比较合适,取更多的学生当然更好,但需要花费更多的精力。由此可见,一个好的抽样方法不仅希望“精度高”还希望“花费少”。

假设问讯的学生数为n,记录数据的和为m(显然,m为喜欢这部电视剧的人数),则调查结果说明,学生中喜欢这部电视剧的比例为 。我们依此估计本年级的同学中喜欢这部电视剧的比例。

用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的,因为学生、成年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计,可以采用分层抽样方法,比如依据年龄分层,需要知道各年龄段人口的比例,按照比例数分配样本数,而在各个层内则采取随机抽样;或者依据职业分层,等等。教师应该了解分层抽样,在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。

 

例69  某个公司有15名工作人员,他们的月工资情况如下表。计算该公司的月工资的平均数、中位数和众数,并分别解释结果的实际意义。

 


职务

经理

副经理

职员

人数

1

2

12

月工资(元)

5000

2000

800


 

 [说明] 平均数、中位数和众数都是刻化数据的集中趋势的方法,因为方法不同,得到的结论也可能不同。很难说哪一种方法是对的,哪一种方法是错的,我们只能说,能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些。在这组数据中有差异较大的数据,这会导致平均数较大,因此,用中位数或众数要比用平均数更客观一些。

不难计算出该公司月工资的中位数和众数均为800元。而

月工资的平均数= 加权平均(可以看成是加权平均)

              = 5000× +2000× +800×

= 1240(元)。

因此,加权平均往往就是总体平均,其中的权是数据对应的比例。

 

例70  如果还有一个公司也有15名工作人员,他们的月工资情况如下表。参照例69,比较两个公司的月工资状况。

 


职务

经理

副经理

职员

人数

1

2

12

月工资(元)

3000

1800

1000


[说明]容易计算,这个公司的月平均工资也是1240元。但是两个公司月工资的方差相差很大,通过计算可以得到:例69中数据的方差为1174400,本例中数据的方差为294400,两个方差相差4倍。可以让学生知道,进一步学习“统计与概率”,将会得到“两个方差有非常显著的差异”的结论。

 

例71 比较自己班级与别的班级同学的身高状况。

[说明]对于两个班级学生身高状况比较,通常可以通过平均值来判断,但有时候仅仅通过平均数是不够的,如果一个班同学之间身高差异很大,而另一个班同学之间身高差异很小,即使前一个班的平均高一些,也不能说这个班的整体状况很好。因此,在判断身高状况时,不仅要看平均值,还需要参考方差。

进一步,可以引导学生逐渐深入地进行数据分析,可以要求学生把身高分段,画出频数直方图,并引导学生讨论,通过直方图是否能得到更多的信息。

 

例72  下表给出了我国1992-2004年国内生产总值(GDP)。在直角坐标系上描出坐标(年,GDP),并试用直线表示发展趋势。

 

年份

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

GDP

23938

34634

46759

58478

67885

74463

78345

年份

1999

2000

2001

2002

2003

2004

 

GDP

82067

89468

97315

105172

117390

136876

 

1992-2004中国GDP变化表(亿元)

 

 

 

 

 

   

[说明] 在现实生活中,有许多数据是与时间有关的,因此这些数据会呈现发展趋势。学生应当能够理解报刊书籍中的这类数据的表达,包括表格、描点、折线图、趋势图等,并且尝试自己表达分析。

对于上述数据,学生应当会描点,虽然这时直角坐标系的度量单位与书本上教的是不一样的,但是只要刻度之间的比例关系一致,表达就是合理的,让学生感悟到:对于实际问题往往需要具体问题具体分析,而不能单纯地套用书本上学到的知识。  因为描点呈现线性增长趋势,可以进一步引导学生利用直线来表示这种趋势、预测未来经济发展,感悟变量的随机性。

 

                              图23

 

对于“用直线表示发展趋势”的问题,原则上可以画出很多条直线,教师可以引导学生思考和讨论如何画出合适的直线、如何制订“合适直线”的标准,并且告诉学生,在高中阶段“统计与概率”的学习中将会解决这个问题,引发学生的学习兴趣。

这个例子可以举一反三,不一定局限与时间有关的数据,比如:学生身高与体重的关系,同一种树的树叶长与宽的关系(参见例79)。也可以组织学生查阅资料,探究进出口总量与GDP的关系,人均收入与GDP的关系,等等。

 

例73  将下面这些卡片混在一起,从中任意选取一张卡片,这张卡片是船的概率是多少?是车的呢?

 

 

 

 

 

 


                              图24

 

[说明] 这是例42的继续。学生已经能够理解:任意选取一张卡片,这张卡片是船的可能性比是车的可能性大,现在应当明确地知道其概率分别是 和 。

这个例子可以举一反三,如转动转盘,当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率;一个袋子里有几种颜色、数量不同的球,随机摸出某种颜色球的概率,等等。

 

例74  分析掷两个骰子点数之和的可能性的大小。

[说明] 这个问题看起来很难,无从下手。事实上,这也是简单事件的问题,利用例10的图,可以得到结论:对应的格子越多可能性越大。比如,点子之和为7的可能性最大,为2或者12 的可能性最小。

 

综合与实践

 

例75  直觉的误导。

有一张8 cm 8 cm的正方形的纸片,面积是64 cm2。把这张纸片按图25-1所示剪开,把剪出的4个小块按图25-2所示重新拼合,这样就得到了一个长为13cm,宽为5cm的长方形,面积是65 cm2。这是可能的吗?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


图25-1                              图25-2

[说明]这是一个直觉与逻辑不符的例子,希望学生通过学习体会到:对于数学的结论,完全凭借直觉判断是不行的,还需要通过演绎推理来验证。

一般来说,学生应当是不会相信图25-2中纸片的面积是65 cm2,但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考,如果观察是错误的,那么错误可能出在哪里呢?学生通过逻辑思考,可以推断只有一个可能:图25-2中纸片所示图形不是长方形,因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后,可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角,发现确实不像是直角。可以告诉学生,这个想法是正确的,但最好能够给出证明,引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。

在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开,动手操作发现矛盾(64=65?)。然后,尝试找出理由并尝试证明,最后表达收获。

可以采用如下反证法证明,在证明过程中加深对相似图形的理解。

如图26,过D做AC的垂线交AC于F。假定图25-2中的图形是长方形,那么图形的右下角就应当是直角,则在图26中有∠1+∠3=90°。因为∠2+∠3=90°,则∠1=∠2。由相似三角形的判定定理,两个直角三角形△ABC与△DEF相似。由相似三角形对应边成比例,应当有:     ,这是不可能的,因此图25-2中的图形不可能是长方形。

由于          ,这个差是很小的,因此会造成我们视觉的误差,把图25-2中的图形判断为长方形。

图26

 

教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释。

 

例76  从年历中想到的。

观察几个年份的年历和月历,思考下面几个问题:

(1)在同一年的月历中,哪些月份的“月历表”的排列是基本一致的?

(2)有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”,当计算机的日期是13日又是星期五时,这种病毒就发作。请找出最近的5个使“黑色的星期五”发作的年、月、日。

(3)许多人都认为,“办喜事”最好是“6月6日又是星期六”,可是有人说:“这样的日子是千载难逢”,你同意这种说法吗?你能找出几个“6月6日又是星期六”的具体年份吗?

[说明] 这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题,可以根据学生的学习情况,提出不同层次的问题。每一个问题的设计,都是为了让学生学会观察、思考和质疑,提高学生学习数学的兴趣,体会模型思想。

问题(1)是让学生学会观察、学会提问题。这个问题的入手点低,每个学生都能参与,都能有所发现。并且可以培养学生“分类讨论”的意识,分平年和闰年:平年时,1、10月;2、3、11月;4、7月;9、12月的月历表基本一致;闰年时,1、4、7月;2、8月;3、11月;9、12月的月历表基本一致。引导学生在貌似杂乱无章中发现规律,利用规律感悟周期现象。

问题(2)中最近的几个“黑色的星期五”是:2009年2月13日、2009年3月13日、2009年11月13日、2010年8月13日、2011年5月13日(随着时间的推移,这个日期会发生变化)。解决问题的方式较多,可以利用对问题(1)发现的规律来思考。也可以充分利用信息工具,如从网上找一个“万年历”的小软件用于观察发现。

问题(3)中最近的几个“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年,因此“千载难逢”的说法不对。更加理性的思考是:闰年的周期大体上是“4”,星期的周期是“7”,所以年历的变化周期“大体上”不会超过4 7 =28。一旦找到了一个“6月6日星期六”的日子,如1992年,“大体上”可以猜测1992+28=2020(年)的6月6日也是星期六。也可以让学生思考:为什么是“大体上”,例外发生的条件是什么?

 

例77   包装盒中的数学。

(1)让学生分组收集一些商品的空包装纸盒,请大家分别计算出他们的体积和表面积。

(2)请学生将这些盒子拆开,看一看它们是怎样裁剪和粘接出来的。

(3)给一个矩形纸板(如A4纸大小),让学生根据上面的发现,裁剪、折叠出一个无盖长方体的盒子,并计算出它的体积。

(4)同组同学之间比较结果,分析谁的体积比较大?分析怎样能作一个体积更大(最大)的盒子?(只是实验、比较,不要求证明)。

(5)结合一种具体的待包装物体 (如5本书或2个茶杯) 设计一个包装盒,使这个盒子恰能包容它们,如有可能实际做出这个盒子。

[说明] 这是一个过程比较长的活动,可以引导学生体验一个比较完整的问题解决过程。让学生收集包装盒、拆开观察是一个很有益的过程,能很好地启发学生如何寻求解决后面问题的思路。问题(5)是一个实际应用,它的结果不唯一,可以交流展示学生的成果,请学生说明制作过程中的关键数据是如何得到的和裁剪方案是如何形成的。

 

例78 看图说故事。

如图27,设计两个不同问题情境,使情境中出现的一对变量,满足图示的函数关系。结合图象,讲出这对变量的变化过程的实际意义。

    


2

 



5        11      15


                                图27

[说明] 通过这个活动,激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例,以加深对函数理解。

学生可以设计多种情境,比如,把这个图看成“小王跑步的s-t图”,可以说出下面的故事:小王以常速度400米/分,跑了5分钟,在原地休息了6分钟,然后以常速度500米/分,跑回出发地。

再比如:有一个容积为2升的开口空瓶子,小王以常速度0.4升/秒,向这个瓶子注水,灌了5秒后停水,等6秒后,然后以常速度0.5升/秒,倒空瓶中水。

老师可以鼓励学生,创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。

 

例79  利用树叶的特征对树木分类。

(1)收集三种不同树的树叶,每种树叶的数量相同,比如每种树选10片树叶。

(2)分类测量每种树叶子的长和宽,列表记录所得到的数据。

(3)分别计算出树叶子的长宽比,估计每种树树叶的长宽比。

(4)验证估计的结果。

[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类,本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。

本活动适用本学段的各个年级,要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比;对于新采集到的树叶,通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识,体会有许多事情,通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的,还可以自己收集;对于同一种树,叶子长与宽的比也可能是不一样的,进一步感受数据的随机性;体会只要有足够的数据,就能够分析出一些规律性的结论。

教学中可以作如下设计:

(1)建议采用小组活动的形式,学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。

(2)为了使分析的结果更加明显,最好选择树叶区别较大的三种(或者更多)树、而每种树选择的树叶的大小要接近,即区别要小一些。

(3)“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的,比如,对于每种树的10片树叶都测量了长和宽以后,可以用10个比值的众数,也可以用10个比值的中位数;还可以把长和宽各自相加后,取和的比值,这是10个比值的平均数(教师可以思考:为什么不用通常求平均数的方法计算比值的平均数)。针对这个问题,用平均数是比较合适的。

(4)取一片新的树叶,通过这片树叶的长宽之比、参照(3)的估计结果,来判断这片树叶属于哪种树。学生会发现,即使是同一棵树,叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也很小,这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案:只要比值大概等于估计值,就可以认为是同一种树,也就是说,需要构造一个以估计值为中心的数值区间,当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数值区间是重要的,区间太短则可能拒绝同类树种,区间太长则判断的精度就要差。可以考虑下面的方法:当估计值是中位数时,区间由比中位数小两位的比值和比中位数大两位的比值构成;当估计值是平均数时,区间的长度为平均数±σ,或者平均数±2σ,其中σ是样本标准差。让学生感悟决定数值区间的道理(可以告诉学生,进一步的学习,将会从理论上计算区间的长度)。

这个问题可以举一反三。

 

例80 利用几何图形研究代数问题。

对于给定的两个数x和y,求使得 (x-b)?+ (y-b)? 达到最小的b,也就是说要找到一个b0,使得对任意的b有

(x-b0)? + (y-b0)? ≦ (x-b)? + (y-b)?。

[说明] 利用直角坐标系,不仅能够推导出几何图形的代数表达式,还能够利用几何图形来研究代数问题,这是帮助学生建立几何直观的有效途径。

图28

可以把给定的两个数看作数对,对应于二维平面的点(见图28),用A(x,y)表示。对于任意数b也可以看作数对(b,b),用点B(b,b)表示。

回忆关于直线的学习,由图28可以看到,点B(b,b)是在通过第一象限、与横坐标倾斜45度角的直线上。我们的问题用几何语言可以表述为:在这条直线上寻找一点,使得这一点到给定点A(x,y)的距离最短。显然,这一点应当是点A(x,y)到直线的垂足,设其为B′(b0,b0)。因为

(x-b)?+ (y-b)? = (x-b0+b0-b)?+ (y-b0+b0-b)?

            = [(x-b0)?+ (y-b0)?] + 2[(x-b0) + (y-b0)]( b0-b) + 2(b0-b)?。

由图28,我们可以把上式左边看作线段AB长的平方,上式右边第一个中括号中的两项之和看作线段AB′长的平方,最后一项看作线段BB′长的平方,因为B′是A到直线的垂足,由勾股定理,上式右边第二项应当为0,即(x-b0) + (y-b0)=0,可以得到b0=(x+y)/2。

从上面的计算结果可以看到,b0正是x和y的算术平均。上面的证明方法和结果可以推广到n个数据,即对于给定的n个数 x1,…,xn,使得

 (x1-b)? +…+ (xn-b)?

达到最小的b为 (x1+…+xn),这是n个数据的平均数。在“统计与概率”中,通常称上式为离差平方和,如果把n个数据看作样本,那么,样本平均使样本的离差平方和达到最小,因此在“统计与概率”中经常会用到样本平均。

 

 

教学建议

 

例81  “零指数”的教学设计(第三学段)。

本案例希望体现课程目标在课堂教学中的整体落实——通过本节课的学习,学生不仅理解和掌握有关的知识技能,而且初步了解指数概念是如何扩充的,感受零指数“规定”的合理性。

通过计算 提出问题:如果应用同底数幂的运算性质,可以得到 。那么 有什么意义呢?等于多少呢?我们需要做出解释,数学面临了挑战。

我们先回顾简单的事实: ,于是可以自然提出猜想: =1,然后采用各种途径引导学生感受规定“ =1”的合理性。例如:

用细胞分裂作为情境,提出问题:一个细胞分裂1次变2个,分裂2次变4个,分裂3次变8个……那么,一个细胞没有分裂时呢?

观察数轴上表示2的正整数次幂16、8、4、2,等等点的位置变化,可以发现什么规律?

 

                                图29

 

再观察下列式子中指数、幂的变化,可以发现下面的规律

                    

这样,在学生感受“ =1”的合理性的基础上,做出零指数幂意义的“规定”,即 。

在规定的基础上,再次验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的,原有的幂的运算性质可以扩展靠零指数。例如,计算 :

综上,学生在学习“零指数”时将经历如下的过程:

面对挑战进行思考——提出“规定”的猜想——通过各种途径说明“规定”的合理性——做出“规定”——验证这种“规定”与原有知识体系无矛盾——指数概念和性质得到扩展。

这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹,有助于学生感悟指数概念是如何扩展的,他们借助学习“零指数”所获得的经验,可以进一步尝试对负整指数幂的意义做出合理的“规定”。这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性,有助于发展学生的理性思维。

 

    例82  百分数的认识(第二学段)。

上课开始,教师与学生共同展示自己收集的生活中的“百分数”例子,比如,在饮料的包装盒上、在衣服的标签上、在报纸上、在玩具的说明书上,学生们发现了很多的百分数。教师要引发学生对这些新认识的数的兴趣,并鼓励学生对于百分数提出问题。比如:

(1)人们为什么要用百分数?

(2)百分数与分数有什么区别?

  (3)百分数是什么意思?

(4)百分号是怎么写的?

(5)百分数是干什么的?

在此基础上,教师可以与学生一起把问题归纳为:

(1)为什么要用百分数?

(2)在什么情况下用?

(3)百分数是什么意思?

(4)与分数有什么联系?

在对问题进行归纳后,可以让学生分小组尝试回答这些问题,然后教师和学生共同提炼出本节课所要学习的知识。在这些基础上,教师可以进一步引导学生考虑:还可以创造什么数?如果学生的思维活跃,可能会提到十分数、千分数等。这个过程,不仅促使学生对知识的理解更加深刻,而且也能鼓励学生思维的创新。

 

例83  商不变的规律(第二学段)。

可以组织如下的教学过程。

教师先提出问题:尝试编出一道除法运算题,使得商是4,然后如何变化除数与被除数,使得商仍然是4?同学(或者讨论小组)经过思考后,可能会就具体的算式发表类似的意见:被除数变大,除数变大,商都是4。

教师可以进一步清理学生的思路:是不是被除数变大,除数也跟着变大,商就一定不变?经过进一步地计算和思考,部分学生可能会得出一般的结论:被除数和除数同时乘或除以相同的数(零除外)时,商不变。

最后,教师可以要求所有的学生验证这个结论。

 

例84  探索数量关系的变化规律(第三学段)。

教师可以先给出题目,求

1+3+5+…+19=?

教学的目的当然不是希望学生通过加法运算得到结果,而是希望学生通过求解的过程归纳出规律。可以有各种途径引导学生探索规律。

例如,学生可以利用由简单到复杂的策略来探索规律。从题目的最简单的情况开始计算:

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

学生可能会发现上述计算结果均为平方数,甚至可能会发现均为算式中因子个数的平方,于是可以预测

1+3+5+…+19=102=100

这个时候,学生可能已经知道了一般的计算公式,但是要让全体学生都能够用数学符号把计算公式表达出来还是有一定困难的。可以先引导学生考虑奇数的符号表达,考虑这个表达与题目中因子个数的关系,然后可以得到一般的结论:

1+3+5+7+…+(2n -1)= n2

这种由最简单情况出发探索规律的方法似乎非常笨拙,但在数学探究中往往是最有效的方法。在教学过程中要让学生关注:分析计算结果的数量关系,寻求规律、提出猜想、符号表达、验证规律。

为了帮助学生思考,教师也提供一些工具,比如下面的点阵,启发学生从数与形的联系中发现规律:

 

         图30

 

 可以看到,图30中的折线中得到的就是平方数,引导学生用算式表达出来,然后得到一般的结论。

 

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